Fraktallar nədir: riyaziyyatın gözəlliyi və sonsuzluq

2024 Müəllif: Seth Attwood | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2023-12-16 15:57

Fraktallar bir əsrdir ki, tanınır, yaxşı öyrənilib və həyatda çoxsaylı tətbiqləri var. Bununla belə, bu fenomen çox sadə bir fikrə əsaslanır: gözəllik və müxtəliflik baxımından sonsuz olan çoxlu sayda fiqurlar nisbətən sadə strukturlardan yalnız iki əməliyyatdan - surət çıxarmaq və miqyaslaşdırmaqdan istifadə etməklə əldə edilə bilər.

Əlimizdəki ağac, dəniz sahili, bulud və ya qan damarlarının ortaq nələri var? İlk baxışdan elə görünə bilər ki, bütün bu obyektlərin ortaq heç nəsi yoxdur. Bununla birlikdə, əslində, bütün sadalanan obyektlərə xas olan bir quruluş xüsusiyyəti var: onlar öz-özünə oxşardırlar. Budaqdan, eləcə də ağacın gövdəsindən daha kiçik budaqlar var, onlardan - hətta kiçik olanlar və s., yəni budaq bütün ağac kimidir.

Qan dövranı sistemi oxşar şəkildə təşkil edilmişdir: arteriollar arteriyalardan ayrılır və onlardan - oksigenin orqan və toxumalara daxil olduğu ən kiçik kapilyarlardır. Dəniz sahilinin peyk şəkillərinə baxaq: körfəzlər və yarımadalar görəcəyik; baxaq, amma quşbaxışı ilə: körfəzlər və burunlar görəcəyik; İndi təsəvvür edək ki, biz sahildə dayanıb ayaqlarımıza baxırıq: həmişə suya qalanlardan daha çox çıxan çınqıllar var.

Yəni, sahil xətti böyüdüldükdə özünə bənzəyir. Amerikalı (Fransada yetişdirilmiş olsa da) riyaziyyatçı Benoit Mandelbrot cisimlərin bu xassəsini fraktallıq adlandırdı və belə obyektlərin özlərini - fraktallar (latınca fractusdan - qırıq).

Fraktal nədir?

Bu anlayışın ciddi tərifi yoxdur. Ona görə də “fraktal” sözü riyazi termin deyil. Tipik olaraq, fraktal aşağıdakı xassələrdən birinə və ya bir neçəsinə cavab verən həndəsi fiqurdur: • İstənilən böyütmədə mürəkkəb quruluşa malikdir (məsələn, hər hansı hissəsi ən sadə həndəsi fiqur olan düz xəttdən fərqli olaraq - a. xətt seqmenti). • (təxminən) özünə bənzəyir. • Topoloji ölçüdən böyük olan fraksiya Hausdorff (fraktal) ölçüsünə malikdir. • Rekursiv prosedurlarla qurula bilər.

Həndəsə və cəbr

19-20-ci əsrlərin əvvəllərində fraktalların tədqiqi sistemli deyil, epizodik xarakter daşıyırdı, çünki əvvəllər riyaziyyatçılar əsasən ümumi metodlardan və nəzəriyyələrdən istifadə etməklə tədqiq oluna bilən “yaxşı” obyektləri tədqiq edirdilər. 1872-ci ildə alman riyaziyyatçısı Karl Weierstrass heç bir yerdə diferensiallana bilməyən davamlı funksiya nümunəsi qurur. Bununla belə, onun konstruksiyası tamamilə mücərrəd və qavranılması çətin idi.

Buna görə də, 1904-cü ildə isveçli Helge von Koch heç bir yerdə tangensi olmayan və çəkmək olduqca sadə olan davamlı əyri icad etdi. Məlum oldu ki, o, fraktal xüsusiyyətlərə malikdir. Bu əyrinin variantlarından biri "Koch qar dənəciyi" adlanır.

Fiqurların öz-özünə oxşarlığı ideyalarını Benoit Mandelbrotun gələcək müəllimi fransız Paul Pierre Levy götürdü. 1938-ci ildə o, başqa bir fraktalı - Levy C əyrisini təsvir edən "Müstəvi və məkan əyriləri və səthlər, bütövə bənzər hissələrdən ibarət" məqaləsini nəşr etdi. Yuxarıdakı fraktalların hamısı şərti olaraq konstruktiv (həndəsi) fraktalların bir sinfinə aid edilə bilər.

Başqa bir sinif Mandelbrot dəstini ehtiva edən dinamik (cəbri) fraktallardır. Bu istiqamətdə ilk tədqiqatlar 20-ci əsrin əvvəllərində başlamış və fransız riyaziyyatçıları Qaston Julia və Pierre Fatounun adları ilə bağlıdır.1918-ci ildə Julia'nın mürəkkəb rasional funksiyaların təkrarlanmasına həsr olunmuş, demək olar ki, iki yüz səhifəlik xatirəsi nəşr olundu, burada Julia dəstləri təsvir edildi - Mandelbrot dəsti ilə sıx əlaqəli fraktalların bütün ailəsi. Bu əsər Fransa Akademiyasının mükafatına layiq görüldü, lakin orada bir illüstrasiya yox idi, ona görə də kəşf edilən obyektlərin gözəlliyini qiymətləndirmək mümkün deyildi.

Bu əsər Julianı dövrün riyaziyyatçıları arasında izzətləndirsə də, tez unudulub. Yalnız yarım əsrdən sonra kompüterlər yenidən diqqət mərkəzinə düşdü: fraktallar dünyasının zənginliyini və gözəlliyini görünən onlar idi.

Fraktal ölçülər

Bildiyiniz kimi, həndəsi fiqurun ölçüsü (ölçmələrin sayı) bu fiqurun üzərində uzanan nöqtənin mövqeyini müəyyən etmək üçün lazım olan koordinatların sayıdır.

Məsələn, əyri üzərindəki nöqtənin mövqeyi bir koordinatla, səthdə (mütləq müstəvi deyil) iki koordinatla, üçölçülü fəzada üç koordinatla müəyyən edilir.

Daha ümumi riyazi nöqteyi-nəzərdən ölçünü bu şəkildə müəyyən edə bilərsiniz: bir ölçülü (topoloji nöqteyi-nəzərdən) obyektlər (seqment) üçün xətti ölçülərin, məsələn, iki dəfə artması ölçüsün artmasına səbəb olur. (uzunluq) iki dəfə, iki ölçülü (kvadrat) üçün xətti ölçülərdə eyni artım ölçüsün (sahənin) 4 dəfə, üç ölçülü (kub) üçün - 8 dəfə artmasına səbəb olur. Yəni, “real” (hausdorff adlanan) ölçüsü obyektin “ölçüsü”nün artmasının loqarifminin onun xətti ölçüsünün artmasının loqarifminə nisbəti kimi hesablana bilər. Yəni D seqmenti üçün = log (2) / log (2) = 1, müstəvi üçün D = log (4) / log (2) = 2, həcm üçün D = log (8) / log (2)) = 3.

İndi Koch əyrisinin ölçüsünü hesablayaq, onun qurulması üçün vahid seqment üç bərabər hissəyə bölünür və orta interval bu seqment olmadan bərabərtərəfli üçbucaqla əvəz olunur. Minimum seqmentin xətti ölçülərinin üç dəfə artması ilə Koch əyrisinin uzunluğu log (4) / log (3) ~ 1, 26-da artır. Yəni Koch əyrisinin ölçüsü fraksiyadır!

Elm və incəsənət

1982-ci ildə Mandelbrotun "Təbiətin fraktal həndəsəsi" kitabı işıq üzü gördü və burada müəllif fraktallar haqqında o dövrdə mövcud olan demək olar ki, bütün məlumatları toplayıb sistemləşdirərək asan və əlçatan bir şəkildə təqdim etdi. Mandelbrot təqdimatında əsas vurğunu çətin düsturlara və riyazi konstruksiyalara deyil, oxucuların həndəsi intuisiyasına yönəltdi. Müəllifin monoqrafiyanın elmi komponentini məharətlə seyreltdiyi kompüterdə yaradılmış illüstrasiyalar və tarixi nağıllar sayəsində kitab bestseller oldu və fraktallar geniş ictimaiyyətə məlum oldu.

Onların qeyri-riyaziyyatçılar arasında uğurları daha çox onunla bağlıdır ki, orta məktəb şagirdinin anlaya biləcəyi çox sadə konstruksiyalar və düsturların köməyi ilə heyrətamiz mürəkkəblik və gözəllik təsvirləri alınır. Fərdi kompüterlər kifayət qədər güclü olduqda, hətta sənətdə bütöv bir tendensiya meydana çıxdı - fraktal rəsm və demək olar ki, hər bir kompüter sahibi bunu edə bilərdi. İndi İnternetdə bu mövzuya həsr olunmuş bir çox saytı asanlıqla tapa bilərsiniz.

Müharibə və Sülh

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, fraktal xüsusiyyətlərə malik təbii obyektlərdən biri də sahil xəttidir. Bir maraqlı hekayə onunla, daha doğrusu, Mandelbrotun elmi məqaləsinin əsasını təşkil edən uzunluğunu ölçmək cəhdi ilə bağlıdır və onun "Təbiətin fraktal həndəsəsi" kitabında da təsvir edilmişdir.

Bu, çox istedadlı və ekssentrik riyaziyyatçı, fizik və meteoroloq Lyuis Riçardson tərəfindən hazırlanmış bir təcrübədir. Onun tədqiqat istiqamətlərindən biri də iki ölkə arasında silahlı münaqişənin səbəbləri və ehtimalının riyazi təsvirini tapmaq cəhdi olub. Onun nəzərə aldığı parametrlər arasında iki döyüşən ölkənin ümumi sərhədinin uzunluğu da var idi. O, ədədi təcrübələr üçün məlumat toplayanda, müxtəlif mənbələrdə İspaniya və Portuqaliya arasındakı ümumi sərhəd haqqında məlumatların çox fərqli olduğunu tapdı.

Bu, onu aşağıdakıları kəşf etməyə sövq etdi: bir ölkənin sərhədlərinin uzunluğu onları ölçdüyümüz hökmdardan asılıdır. Şkala nə qədər kiçik olsa, sərhəd bir o qədər uzun olar. Bunun səbəbi, daha yüksək böyütmə ilə ölçmələrin kobudluğu səbəbindən əvvəllər nəzərə alınmayan daha çox sahil döngələrini nəzərə almaq mümkün olur. Əgər miqyasda hər bir artımla xətlərin əvvəllər nəzərə alınmamış əyilmələri açılarsa, o zaman sərhədlərin uzunluğunun sonsuz olduğu ortaya çıxır! Düzdür, reallıqda bu baş vermir - ölçmələrimizin dəqiqliyi sonlu həddi var. Bu paradoksa Riçardson effekti deyilir.

Konstruktiv (həndəsi) fraktallar

Ümumi halda konstruktiv fraktalın qurulması alqoritmi aşağıdakı kimidir. İlk növbədə, bizə iki uyğun həndəsi forma lazımdır, gəlin onları əsas və fraqment adlandıraq. Birinci mərhələdə gələcək fraktalın əsası təsvir edilmişdir. Sonra onun bəzi hissələri uyğun miqyasda götürülmüş bir fraqmentlə əvəz olunur - bu tikintinin ilk iterasiyasıdır. Sonra yaranan fiqur yenidən bəzi hissələri fraqmentə bənzər fiqurlara çevirir və s. Bu prosesi qeyri-müəyyən davam etdirsək, limitdə fraktal alırıq.

Nümunə olaraq Koch əyrisindən istifadə edərək bu prosesi nəzərdən keçirək. Koch əyrisi üçün əsas olaraq hər hansı bir əyri götürə bilərsiniz ("Koch qar dənəciyi" üçün bu üçbucaqdır). Ancaq biz özümüzü ən sadə halla - bir seqmentlə məhdudlaşdıracağıq. Fraqment şəkildə yuxarıda göstərilən qırıq xəttdir. Alqoritmin ilk təkrarlanmasından sonra, bu halda, ilkin seqment fraqmentlə üst-üstə düşəcək, sonra onun hər bir tərkib seqmenti fraqmentə bənzər qırıq xətt ilə əvəz olunacaq və s. Şəkildə ilk dörd addım göstərilir. bu proses.

Riyaziyyat dili ilə: dinamik (cəbri) fraktallar

Bu tip fraktallar qeyri-xətti dinamik sistemlərin öyrənilməsində yaranır (buna görə də adı). Belə bir sistemin davranışı mürəkkəb qeyri-xətti funksiya (polinom) f (z) ilə təsvir edilə bilər. Mürəkkəb müstəvidə bəzi başlanğıc nöqtəsi z0 götürün (yan panelə baxın). İndi kompleks müstəvidə belə sonsuz ədədlər ardıcıllığını nəzərdən keçirək ki, onların hər biri əvvəlkindən alınır: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).).

İlkin z0 nöqtəsindən asılı olaraq belə ardıcıllıq fərqli davrana bilər: n -> ∞ kimi sonsuzluğa meyllidir; bəzi son nöqtəyə yaxınlaşmaq; bir sıra sabit dəyərləri dövri olaraq qəbul etmək; daha mürəkkəb variantlar da mümkündür.

Kompleks ədədlər

Kompleks ədəd iki hissədən - həqiqi və xəyali, yəni formal x + iy cəmindən ibarət olan ədəddir (burada x və y həqiqi ədədlərdir). mən sözdəyəm. xəyali vahid, yəni i ^ 2 = -1 tənliyini ödəyən ədəd. Əsas riyazi əməliyyatlar kompleks ədədlər üzərində müəyyən edilir - toplama, vurma, bölmə, çıxma (yalnız müqayisə əməliyyatı müəyyən edilmir). Mürəkkəb ədədləri göstərmək üçün çox vaxt həndəsi təsvirdən istifadə olunur - müstəvidə (buna mürəkkəb deyilir), həqiqi hissə absis üzərində, xəyali hissə isə ordinat üzərində qoyulur, kompleks nömrə isə Kartezyen ilə bir nöqtəyə uyğun olacaq. x və y koordinatları.

Beləliklə, mürəkkəb müstəvinin istənilən z nöqtəsi f (z) funksiyasının təkrarlanması zamanı özünəməxsus davranış xarakterinə malikdir və bütün müstəvi hissələrə bölünür. Bu halda, bu hissələrin hüdudlarında yerləşən nöqtələr aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir: ixtiyari kiçik yerdəyişmə üçün onların davranışının xarakteri kəskin şəkildə dəyişir (belə nöqtələrə bifurkasiya nöqtələri deyilir). Beləliklə, məlum olur ki, müəyyən bir davranış növü olan nöqtələr çoxluğu, həmçinin bifurkasiya nöqtələri dəstləri çox vaxt fraktal xüsusiyyətlərə malikdir. Bunlar f (z) funksiyası üçün Julia çoxluqlarıdır.

Əjdahalar ailəsi

Baza və fraqmenti dəyişdirməklə siz heyrətamiz müxtəlif konstruktiv fraktallar əldə edə bilərsiniz.

Üstəlik, oxşar əməliyyatlar üçölçülü məkanda həyata keçirilə bilər. Həcmli fraktallara misal olaraq Menqer süngərini, Sierpinski piramidasını və başqalarını göstərmək olar.

Əjdaha ailəsinə konstruktiv fraktallar da deyilir. Bəzən onları kəşf edənlərin adı ilə "Magistral-Harter əjdahaları" adlandırırlar (formalarına görə onlar Çin əjdahalarına bənzəyirlər). Bu əyrini çəkməyin bir neçə yolu var. Onlardan ən sadə və ən intuitiv olanı budur: kifayət qədər uzun bir kağız zolağı götürməlisiniz (kağız nə qədər incə olsa, bir o qədər yaxşıdır) və onu yarıya qatlayın. Sonra ilk dəfə olduğu kimi eyni istiqamətdə yenidən iki dəfə bükün.

Bir neçə təkrarlamadan sonra (adətən beş və ya altı qatdan sonra zolaq çox qalın olur ki, daha səliqəli şəkildə əyilmək üçün) zolağı geriyə bükmək və qıvrımlarda 90˚ bucaq yaratmağa çalışmaq lazımdır. Sonra əjdahanın əyrisi profildə görünəcək. Əlbəttə ki, bu, fraktal obyektləri təsvir etmək üçün etdiyimiz bütün cəhdlər kimi, yalnız təxmini olacaq. Kompüter bu prosesdə daha bir çox addımları təsvir etməyə imkan verir və nəticədə çox gözəl bir rəqəmdir.

Mandelbrot dəsti bir qədər fərqli şəkildə qurulmuşdur. fc (z) = z ^ 2 + c funksiyasını nəzərdən keçirək, burada c kompleks ədəddir. Bu funksiyanın z0 = 0 ilə ardıcıllığını quraq, c parametrindən asılı olaraq o, sonsuzluğa qədər uzaqlaşa və ya məhdud qala bilər. Üstəlik, bu ardıcıllığın məhdudlaşdırıldığı c-nin bütün dəyərləri Mandelbrot dəstini təşkil edir. Mandelbrotun özü və digər riyaziyyatçılar tərəfindən ətraflı öyrənilmiş və bu çoxluğun bir çox maraqlı xüsusiyyətlərini kəşf etmişlər.

Julia və Mandelbrot dəstlərinin təriflərinin bir-birinə bənzədiyi görünür. Əslində, bu iki dəst bir-biri ilə sıx bağlıdır. Məhz, Mandelbrot dəsti, Julia dəsti fc (z) birləşdirildiyi kompleks c parametrinin bütün qiymətləridir (bir sıra əlavə şərtlərlə iki ayrı hissəyə bölmək mümkün deyilsə, bir dəstə qoşulmuş adlanır).

Fraktallar və həyat

Bu gün fraktallar nəzəriyyəsi insan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində geniş istifadə olunur. Tədqiqat üçün sırf elmi obyektə və artıq qeyd olunan fraktal rəsmə əlavə olaraq, fraktallar məlumat nəzəriyyəsində qrafik məlumatları sıxışdırmaq üçün istifadə olunur (burada fraktalların özünə bənzərlik xüsusiyyəti əsasən istifadə olunur - axırda kiçik bir fraqmenti xatırlamaq üçün. qalan hissələri əldə edə biləcəyiniz rəsm və dəyişikliklər, bütün faylı saxlamaqdan daha az yaddaş tələb edir).

Fraktalı təyin edən düsturlara təsadüfi təhriklər əlavə etməklə, bəzi real obyektləri - relyef elementlərini, su obyektlərinin səthini, bəzi bitkiləri çox inandırıcı şəkildə çatdıran stoxastik fraktallar əldə etmək olar ki, bunlardan fizika, coğrafiya və kompüter qrafikasında uğurla istifadə olunur. simulyasiya edilmiş obyektlərin real ilə oxşarlığı. Elektronikada fraktal formaya malik antenalar istehsal olunur. Az yer tutaraq, onlar kifayət qədər yüksək keyfiyyətli siqnal qəbulunu təmin edir.

İqtisadçılar valyuta məzənnəsi əyrilərini təsvir etmək üçün fraktallardan istifadə edirlər (Mandelbrot tərəfindən kəşf edilmiş bir xüsusiyyət). Fraktalların heyrətamiz dərəcədə gözəl və müxtəlif dünyasına bu kiçik ekskursiya bununla yekunlaşır.